> [!Info]- Legenda
$f(g(x))$: Funzione composta
$f'(g(x))$: Derivata di $f$ valutata in $g(x)$
$g'(x)$: Derivata di $g$ rispetto a $x$
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La [[Derivata|derivata]] di una **funzione composta** si calcola utilizzando la **regola della catena.**
Se abbiamo una funzione composta $f(g(x))$, la sua derivata rispetto a $x$ è data dalla derivata di $f$ valutata in $g(x)$, moltiplicata per la derivata di $g$ rispetto a $x$.
Se $f(u)$ è differenziabile nel punto $u = g(x)$ e $g(x)$ è differenziabile in $x$, allora la funzione composta $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ è differenziabile in $x$ e la sua derivata è:
$ \color {green}
(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$
##### Dimostrazione
Sia $\Delta u$ la variazione in $u$ quando $x$ varia di $\Delta x$, quindi:
$
\Delta u = g(x + \Delta x) - g(x)
$
La corrispondente variazione in $y$ è:
$
\Delta y = f(u + \Delta u) - f(u)
$
Se $\Delta u \neq 0$, possiamo esprimere il rapporto $\Delta y / \Delta x$ come il prodotto:
$
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}
$
Prendendo il limite per $\Delta x \rightarrow 0$, otteniamo:
$
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} & = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} \\
& = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\end{aligned}
$
Questa relazione è intuitivamente ragionevole se pensiamo alla derivata come a un tasso di cambiamento.
Se $y = f(u)$ cambia alla metà della velocità di $u$ e $u = g(x)$ cambia tre volte più velocemente di $x$, allora ci aspettiamo che $y$ cambi $3/2$ volte più velocemente di $x$.
Questo effetto è simile a quello di un treno di ingranaggi multiplo.
#### Visuals
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[Visualizing the chain rule and product rule | Chapter 4, Essence of calculus](https://youtu.be/YG15m2VwSjA?si=95qIDgGU-jEc03Z_)