*La [[Regola della catena|regola della catena]] è applicabile anche a funzioni composte di più variabili, con le opportune precisazioni. La regola ha differenti forme in base a quante sono le variabili indipendenti e intermedie, ma funziona generalmente in modo analogo a quanto visto per le funzioni a una singola variabile* **Regola della catena per funzioni di una variabile indipendente e due variabili intermedie** **Ipotesi** 1. w = ƒ(x, y) è [[Continuità di una funzione di più variabili|continua]] e [[Differenziabilità|differenziabile]] 2. g = x(t), h = y(t) sono funzioni continue e differenziabili di t **Tesi:** Allora la funzione composta w = ƒ(x(t), y(t)) è una funzione differenziabile ed è uguale alla seguente $ \color {green} \frac {d\omega} {dt}=\frac {\partial f} {\partial x}\frac {dx} {dt} +\frac {\partial f} {\partial y}\frac {dy} {dt} $ ##### Esempio Usa la Regola della Catena per trovare la derivata di $ w=x y $ rispetto a $t$ lungo il percorso $x=\cos t, y=\sin t$. Qual è il valore della derivata in $t=\pi / 2$? **Soluzione** Applichiamo la Regola della Catena per trovare $d w / d t$ come segue: $ \begin{aligned} \frac{d w}{d t} & =\frac{\partial w}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \frac{d y}{d t} \\ & =\frac{\partial(x y)}{\partial x} \frac{d}{d t}(\cos t)+\frac{\partial(x y)}{\partial y} \frac{d}{d t}(\sin t) \\ & =(y)(-\sin t)+(x)(\cos t) \\ & =(\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t) \\ & =-\sin ^2 t+\cos ^2 t \\ & =\cos 2 t \end{aligned} $ ##### Dimostrazione Dobbiamo dimostrare che se $x$ e $y$ sono differenziabili in $t=t_0$, allora $w$ è differenziabile in $t_0$ e $ \frac{d w}{d t}\left(t_0\right)=\frac{\partial w}{\partial x}\left(P_0\right) \frac{d x}{d t}\left(t_0\right)+\frac{\partial w}{\partial y}\left(P_0\right) \frac{d y}{d t}\left(t_0\right) $ dove $P_0=\left(x\left(t_0\right), y\left(t_0\right)\right)$. Siano $\Delta x, \Delta y$ e $\Delta w$ gli incrementi che risultano dal cambiare $t$ da $t_0$ a $t_0+\Delta t$. Poiché $f$ è differenziabile $ \Delta w=\frac{\partial w}{\partial x}\left(P_0\right) \Delta x+\frac{\partial w}{\partial y}\left(P_0\right) \Delta y+\varepsilon_1 \Delta x+\varepsilon_2 \Delta y $ dove $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \rightarrow 0$ come $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$. Per trovare $d w / d t$, dividiamo questa equazione per $\Delta t$ e lasciamo che $\Delta t$ si avvicini a zero. La divisione dà $ \frac{\Delta w}{\Delta t}=\frac{\partial w}{\partial x}\left(P_0\right) \frac{\Delta x}{\Delta t}+\frac{\partial w}{\partial y}\left(P_0\right) \frac{\Delta y}{\Delta t}+\varepsilon_1 \frac{\Delta x}{\Delta t}+\varepsilon_2 \frac{\Delta y}{\Delta t} $ Lasciando che $\Delta t$ si avvicini a zero si ottiene: $ \begin{aligned} \frac{d w}{d t}\left(t_0\right) & =\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta w}{\Delta t} \\ & =\frac{\partial w}{\partial x}\left(P_0\right) \frac{d x}{d t}\left(t_0\right)+\frac{\partial w}{\partial y}\left(P_0\right) \frac{d y}{d t}\left(t_0\right)+0 \cdot \frac{d x}{d t}\left(t_0\right)+0 \cdot \frac{d y}{d t}\left(t_0\right) \end{aligned} $ Spesso scriviamo $\partial w / \partial x$ per la derivata parziale $\partial f / \partial x$, quindi possiamo riscrivere la **regola della catena** nella forma $ \frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \frac{d y}{d t} $