Dalla definizione di [[Derivata|derivata]] si ricavano tutte le principali proprietà e regole di calcolo insieme ad alcuni dei più importanti teoremi dell'analisi matematica, essi ci permettono infatti di localizzare massimi, minimi e punti critici di una funzione come anche di stabilire il suo andamento.
#### Regole di derivazione
| Somma | $D(f+g)\left(x_{0}\right)=D f\left(x_{0}\right)+D g\left(x_{0}\right)$ |
| :--- | :--- |
| Prodotto | $D(f \cdot g)\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right) \cdot D f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) \cdot D g\left(x_{0}\right)$ |
| Rapporto | $D \frac{f}{g}\left(x_{0}\right)=\frac{g\left(x_{0}\right) \cdot D f\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right) \cdot D g\left(x_{0}\right)}{g^{2}\left(x_{0}\right)}$ |
| Reciproco | $D \frac{1}{f}\left(x_{0}\right)=-\frac{D f\left(x_{0}\right)}{f^{2}\left(x_{0}\right)}$ |
**Dimostrazione somma**
$
\frac{\Delta(f+g)}{\Delta x}=\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}+\frac{g(x)-g\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
$
*Il risultato è di immediata conseguenza del teorema sul limite della somma di funzione.*
**Dimostrazione reciproco**
In virtù del teorema della permanenza del segno, essendo $f(x_0) \not = 0$ la funzione reciproco è definita almeno in un intorno di x_0 e risulta:
$
\frac{\Delta(1 / f)}{\Delta x}=\frac{(1 / f)(x)-(1 / f)\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\frac{f\left(x_{0}\right)-f(x)}{x-x_{0}} \cdot \frac{1}{f(x) \cdot f\left(x_{0}\right)}
$
##### Derivata funzione inversa
Se $f: I \rightarrow J \subseteq \mathbb{R}$ è una funzione invertibile e derivabile in $x_{0}$, allora la funzione inversa è derivabile in $y_{0} = f(x_{0})$ se e solo se $Df(x_{0}) \neq 0$.
La derivata della funzione inversa si calcola come:
$\color {green} Df^{-1}(y_{0}) = \frac{1}{Df(x_{0})}$
La **dimostrazione** si basa sul limite del rapporto incrementale della funzione inversa:
$\frac{\Delta f^{-1}}{\Delta y}=\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}\left(y_{0}\right)}{y-y_{0}}=\frac{x-x_{0}}{f(x)-f\left(x_{0}\right)}=\frac{\Delta x}{\Delta f}$
Da cui:
$\lim_{y \rightarrow y_{0}} \frac{\Delta f^{-1}}{\Delta y} = \lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\Delta x}{\Delta f} = \frac{1}{Df(x_{0})}$
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#### Visuals
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[Derivative formulas through geometry | Chapter 3, Essence of calculus](https://youtu.be/S0_qX4VJhMQ?si=tNIK3ahU18n5qLix)