> [!Info]- Legenda $\sum$: simbolo di sommatoria $a_{n}$: termine generico della successione $S$: somma della serie $s_{n}$: somma parziale della serie $\lim$: limite --- Una [[Serie numeriche|serie]] con **termini di segno alterno** può essere rappresentata come segue: $ \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} a_{n} \quad \text{con } a_{n}>0 $ Per analizzare una serie di questo tipo, utilizziamo il **Criterio di Leibnitz.** Supponiamo che la successione $a_{n}$ sia monotona: - Se $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n} \neq 0$, allora la serie è indeterminata. - Se $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0$, allora la serie converge. Nel caso in cui la serie converga, possiamo stimare la somma $S$ della serie con: $ s_{2n} \leq S \leq s_{2n+1} $ L'**errore di approssimazione** è dato da: $ \left|S-s_{n}\right| \leq a_{n+1} $ ##### Dimostrazione Le somme parziali della serie assumono la forma: $ \begin{align*} s_{1} &= a_{1} \\ s_{2} &= s_{1} - a_{2} \\ s_{3} &= s_{2} + a_{3} \\ &\vdots \\ s_{2n} &= s_{2n-1} - a_{2n} \\ s_{2n+1} &= s_{2n} + a_{2n+1} \end{align*} $ Esaminiamo ora i due casi: 1. **Successione Crescente**: $a_{n+1} \geq a_{n}$ Se la successione è crescente, si dimostra facilmente che $s_{2n} \leq 0$ e $s_{2n+1} \geq a_{1} > 0$ per ogni $n \in \mathbb{N}$. Da ciò si deduce che la serie è indeterminata, poiché le somme parziali continuano ad aumentare. 2. **Successione Decrescente**: $a_{n+1} \leq a_{n}$ Se la successione è decrescente, si può dimostrare che le somme parziali di posto pari sono non decrescenti, mentre quelle di posto dispari sono non crescenti. Pertanto, il valore finale della somma converge verso un valore specifico. ![[Pasted image 20260508153540.png]]