> [!Info]- Legenda $s_n$: Somma parziale della serie. $a_n$: Termine generale della serie. $\sum$: Simbolo di sommatoria. $\lim$: Limite. $\sqrt[n]{a_n}$: Radice n-esima di $a_n$. --- Una [[Serie numeriche|serie]] con termini generali non nulli e di segno costante ha una successione di somme parziali monotona, il che implica che la serie non può essere indeterminata. Questo è evidente poiché $s_{n+1} = s_n + a_{n+1}$. Per analizzare una serie di questo tipo, possiamo utilizzare i seguenti teoremi. #### Criterio del confronto Consideriamo due serie a termini non negativi, $a_n$ e $b_n$. Se $a_n \leq b_n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$, allora: - Se $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n$ converge, anche $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ converge. - Se $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ diverge, anche $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n$ diverge. #### Criterio del confronto asintotico Per due serie a termini non negativi, $a_n$ e $b_n$ **se** esiste il limite $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n} = l$ con $0 < l < +\infty$ **allora** le due serie hanno lo stesso comportamento di convergenza o divergenza. #### Criterio del rapporto Per una serie a termini positivi $a_n$, se esiste il limite $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l$, allora: - Se $l < 1$, la serie converge. - Se $l > 1$, la serie diverge. #### Criterio della Radice Per una serie a termini positivi $a_n$, se esiste il limite $\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n} = l$, allora: - Se $l < 1$, la serie converge. - Se $l > 1$, la serie diverge. #### Criterio dell'Integrale Se il termine noto di una serie è una funzione $f$ non crescente, allora la serie associata converge se e solo se $f$ è [[Integrale generalizzato|integrabile in senso generalizzato]].