> [!Info]- Legenda $\sum$: Simbolo di sommatoria, indica la somma di una serie di termini. $|a_{n}|$: Modulo del termine $a_{n}$, rappresenta il valore assoluto. --- Lo studio delle [[Serie numeriche|serie]] a **termini di segno qualunque** è complesso e si basa sull'analisi della serie del modulo dei termini, nota come **serie assoluta:** $ \sum_{n=1}^{+\infty}\left|a_{n}\right| $ #### Convergenza Assoluta ==Una serie è definita assolutamente convergente se la serie assoluta associata converge.== *Il criterio di assoluta convergenza afferma che se la serie assoluta converge, allora anche la serie originale converge.* **Conseguenze della convergenza assoluta** 1. La convergenza assoluta è più restrittiva della convergenza semplice. Esistono serie che convergono semplicemente ma non assolutamente; tuttavia, non può verificarsi il contrario. 2. Se una serie non converge, allora la serie assoluta associata diverge. 3. Se la serie assoluta diverge, non possiamo trarre conclusioni definitive sul comportamento della serie originale. #### Criterio del rapporto generalizzato Per analizzare una serie di questo tipo, si utilizza il **criterio del rapporto generalizzato.** Consideriamo una serie a termini non nulli e supponiamo che esista il limite del rapporto: $ \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}=l $ - Se $l < 1$, la serie converge. - Se $l > 1$, il comportamento della serie dipende dal termine noto $a_{n}$ Precisamente avviene che - Se $a_{n} < 0$ definitivamente, la serie diverge a $+\infty$. - Se $a_{n} > 0$ definitivamente, la serie diverge a $-\infty$. - Se $a_{n}$ è a segni alterni, la serie è indeterminata.