> [!Info]- Legenda $a_{n}$: Termine generale della serie $s_{n}$: Somma parziale della serie $\sum$: Simbolo di sommatoria $\lim$: Limite $\mathbb{N}$: Insieme dei numeri naturali $\mathbb{R}$: Insieme dei numeri reali --- Una **serie** matematica è la somma di una sequenza infinita di numeri, spesso rappresentata da una [[Successioni numeriche|successione]]. La **serie associata** si ottiene sommando tutti i termini della successione. Le serie possono convergere a un valore finito o divergere all'infinito. Ad esempio, la serie armonica diverge, il che significa che la somma dei suoi termini diventa infinita quando si considerano tutti i termini della sequenza. Più precisamente, una serie è definita come la successione delle somme parziali di una sequenza infinita di numeri $a_{n}$, o equivalentemente, come la somma di una sequenza infinita di numeri: $s_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} \quad n \in \mathbb{N}$ dove $a_{n}$ è chiamato **termine generale della serie.** Possiamo rappresentare ogni termine di una serie mediante l'area di un rettangolo. Se tutti i termini di una serie sono positivi, allora la serie converge se l'area totale è finita, e diverge altrimenti. ![[Pasted image 20250523121701.png]] *La somma di una serie con termini positivi può essere interpretata come l'area totale di una collezione infinita di rettangoli. La serie converge quando l'area totale dei rettangoli è finita e diverge quando l'area totale è illimitata.* ==Studiare il comportamento di una serie significa determinare se essa converge, diverge o è indeterminata. == Precisamente, una serie: - **Converge** se $\lim_{n \to +\infty} s_{n} = s \in \mathbb{R}$ - **Diverge** se $\lim_{n \to +\infty} s_{n} = \infty$ - È **Indeterminata** se $\lim_{n \to +\infty} s_{n}$ non esiste Se la serie converge, il valore limite $s$ è detto **somma della serie** e viene indicato con lo stesso simbolo usato per definire la serie: $s = \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} \quad n \in \mathbb{N}$ Per studiare il comportamento di una serie, utilizziamo i [[Teoremi di convergenza per serie numeriche|teoremi di convergenza]].