> [!Info]- Legenda $a_{n}$: Termine generale della successione $L$: Limite della successione $\epsilon$: Numero positivo arbitrariamente piccolo $N$: Intero positivo che determina il punto oltre il quale la condizione di convergenza è soddisfatta $k$: Costante moltiplicativa --- Una **successione numerica** è una lista ordinata di numeri, indicata come $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$. Ogni termine della successione rappresenta un numero specifico. Più precisamente, una sequenza infinita di numeri può essere vista come una [[Funzioni|funzione]] il cui dominio è l'insieme degli interi positivi. Il comportamento generale di questa sequenza è descritto dal termine generale $a_{n}$. ![[Pasted image 20250523121817.png]] *Le successioni possono essere rappresentate graficamente come punti su una linea reale o su un piano, dove l'asse orizzontale $n$ rappresenta l'indice del termine e l'asse verticale $a_{n}$ il suo valore.* *Si può vedere come delle volte, i numeri in una successione si avvicinano a un valore specifico man mano che l'indice $n$ aumenta, si dice in questo caso che la successione converge a un dato valore.* Una successione $a_{n}$ si dice **convergente** al numero $L$ se, per ogni numero positivo $\epsilon$, esiste un intero $N$ tale che: $ \left|a_{n}-L\right|<\epsilon \quad \text{quando} \quad n>N $ Se non esiste alcun $L$, la successione è detta **divergente.** ![[Pasted image 20250523121835.png]] Le successioni, essendo funzioni con dominio limitato agli interi positivi, seguono alcune proprietà fondamentali nel calcolo dei [[Proprietà del limite|limiti]]. #### Proprietà delle successioni **Teorema 1**: Siano $\left\{a_{n}\right\}$ e $\left\{b_{n}\right\}$ successioni di numeri reali, e siano $A$ e $B$ numeri reali. Se $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A$ e $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=B$, allora valgono le seguenti regole: 1. **Regola della Somma** --> $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=A+B$ 2. **Regola della Differenza** --> $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=A-B$ 3. **Regola del Moltiplicatore Costante** --> $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(k \cdot b_{n}\right)=k \cdot B$ (per ogni numero $k$) 4. **Regola del Prodotto** --> $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \cdot b_{n}\right)=A \cdot B$ 5. **Regola del Quoziente** --> $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{A}{B}$ se $B \neq 0$ Anche il [[Proprietà del limite|Teorema dei carabinieri]] vale per le funzioni continue come anche per le successioni: Siano $\left\{a_{n}\right\}, \left\{b_{n}\right\}$ e $\left\{c_{n}\right\}$ successioni di numeri reali. **Se** $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ per ogni $n$ oltre un certo indice $N$, e se $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=L$ **allora** $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=L$ *I termini della successione $\left\{b_{n}\right\}$ sono compresi tra quelli di $\left\{a_{n}\right\}$ e $\left\{c_{n}\right\}$, costringendoli allo stesso limite comune $L$. ![[Pasted image 20250523121853.png]]