Lo **sviluppo in serie di Fourier** è uno strumento matematico essenziale per rappresentare qualsiasi [[Grandezze periodiche|funzione periodica]] come somma di sinusoidi (armoniche) con diverse frequenze, ampiezze e fasi. Data una funzione periodica $f(t)$ di periodo $T$, essa può essere espressa come: $ f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \right] $ dove $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ è la pulsazione fondamentale. I coefficienti $a_0$, $a_n$ e $b_n$ sono calcolati tramite le seguenti relazioni integrali: $ a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) \, dt $ $ a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos(n\omega_0 t) \, dt $ $ b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin(n\omega_0 t) \, dt $ Lo sviluppo in serie di Fourier è fondamentale per: * Analizzare la risposta dei [[Bipoli lineari passivi|circuiti lineari]] a segnali non puramente sinusoidali. * Determinare il contenuto armonico di una grandezza periodica. * Studiare fenomeni di distorsione e filtraggio nei sistemi elettrici. #### Serie di Fourier per l'analisi di circuiti elettrici Una [[Grandezze periodiche|grandezza periodica]] $i(t)$ continua e limitata può essere espressa mediante la serie di Fourier: $ \begin{equation*} i(t)=I_{\operatorname{med}}+\sum_{k=1}^{\infty} I_{k \max } \operatorname{sen}\left(k \omega t+\varphi_{k}\right) \tag{1.8.1} \end{equation*} $ con $ \begin{equation*} I_{k \text { max }}=\sqrt{A_{k}^{2}+B_{k}^{2}} \tag{1.8.2} \end{equation*} $ e $ \begin{gather*} A_{k}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} i(t) \cos k \omega t d t, \quad B_{k}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} i(t) \operatorname{sen} k \omega t d t \\ \varphi_{k}=\operatorname{arctg} \frac{A_{k}}{B_{k}}+h \pi \tag{1.8.3} \end{gather*} $ dove $h=0$ se $B_{k}$ è positivo, $h=1$ se $B_{k}$ è negativo. ==Il comportamento di una rete elettrica costituita da bipoli lineari e tempo invarianti può essere determinato dalla somma delle risposte a ciascuna componente della serie di Fourier, applicata singolarmente.== Tali risposte vengono ottenute mediante le [[Analisi di una rete elettrica|tecniche di analisi delle reti elettriche]] in **regime sinusoidale.** #### Esempi ##### Onda quadra ![[Pasted image 20260504092025.png]] Per un'onda quadra simmetrica con ampiezza $A$: $ f(t)=\frac{4 A}{\pi}\left(\cos \omega_0 t-\frac{1}{3} \cos 3 \omega_0 t+\frac{1}{5} \cos 5 \omega_0 t-\frac{1}{7} \cos 7 \omega_0 t+\ldots\right) $ ##### Onda quadra unipolare ![[Pasted image 20260504092220.png]] Per un'onda quadra unipolare con ampiezza $A$: $ f(t)=\frac{A}{2}+\frac{2 A}{\pi}\left(\cos \omega_0 t-\frac{1}{3} \cos 3 \omega_0 t+\frac{1}{5} \cos 5 \omega_0 t-\frac{1}{7} \cos 7 \omega_0 t+\ldots\right) $ ##### Treno di impulsi ![[Pasted image 20260504092257.png]] Per un treno di impulsi con ampiezza $A$ e rapporto ciclico $k=\frac{\tau}{T}$: $ f(t)=A k+\frac{2 A}{\pi}\left[(\sin \pi k \cdot \cos \omega_0 t)+\left(\frac{1}{2} \sin 2 \pi k \cdot \cos 2 \omega_0 t\right)+\ldots \ldots+\left(\frac{1}{n} \sin n \pi k \cdot \cos n \omega_0 t\right)\right] $ ##### Onda triangolare ![[Pasted image 20260504092323.png]] Per un'onda triangolare simmetrica con ampiezza $A$: $ f(t) = \frac{8A}{\pi^2} \left( \cos(\omega_0 t) + \frac{1}{9}\cos(3\omega_0 t) + \frac{1}{25}\cos(5\omega_0 t) + \ldots \right) $ ##### Dente di sega ![[Pasted image 20260504092337.png]] Per un'onda a dente di sega con ampiezza $A$: $ f(t)=\frac{2 A}{\pi}\left(\sin \omega_0 t-\frac{1}{2} \sin 2 \omega_0 t+\frac{1}{3} \sin 3 \omega_0 t-\frac{1}{4} \sin 4 \omega_0 t+\ldots\right) $ ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]]