Il **teorema di L'Hôpital**, formulato da Bernoulli, è uno strumento fondamentale per lo studio dei limiti di [[Forme indeterminate]]. In molti casi, i limiti che portano a forme indeterminate possono essere risolti attraverso manipolazioni algebriche come la cancellazione o la riorganizzazione dei termini. Tuttavia, quando queste tecniche non sono sempre applicabili, la regola di L'Hôpital offre una soluzione alternativa. **Teorema di L'Hôpital:** Consideriamo due [[Funzioni|funzioni]] $f$ e $g$ definite su un intervallo $[a, b]$ in $\mathbb{R}$: 1. $f(a) = g(a) = 0$ 2. $f$ e $g$ sono differenziabili nel dominio, con $g(x) \neq 0$ per ogni $x \in [a, b]$ **Se** il limite di $\frac{f(x)}{g(x)}$ esiste **Allora** esiste anche il limite di $\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ e si ha: $ \color {green} \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} $ *La Regola di L'Hôpital si applica quando ci si trova di fronte a una forma indeterminata.* *In tal caso, si può continuare a differenziare le funzioni $f$ e $g$ fino a ottenere un risultato determinato; è importante notare che la regola non si applica se il numeratore o il denominatore hanno un limite finito diverso da zero.* ![[Pasted image 20250523121936.png]] ##### Dimostrazione Fissato un punto $x$, per il [[Teorema di Cauchy]] esiste un punto $c_x$ tale che: $ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f^{\prime}(c_x)}{g^{\prime}(c_x)} $ L'ipotesi di esistenza del limite $\lim_{x \to a^{+}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = l$ implica che: $\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f^{\prime}\left(c_{x}\right)}{g^{\prime}\left(c_{x}\right)}=\lim _{c_{x} \rightarrow a^{x}} \frac{f^{\prime}\left(c_{x}\right)}{g^{\prime}\left(c_{x}\right)}=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=l$ Passando al limite nella prima equazione, si dimostra la tesi. ##### Forme indeterminate del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ La regola di L'Hôpital può essere estesa per trattare forme indeterminate del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Se $f$ e $g$ sono funzioni derivabili su $[a, b]$ con: 1. $\lim_{x \to a} |f(x)| = \lim_{x \to a} |g(x)| = +\infty$ 2. $g^{\prime}(x) \neq 0$ per ogni $x$ Allora, se esiste $\lim_{x \to a^{+}} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$, esiste anche $\lim_{x \to a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}$ e i due limiti coincidono.