#### Teorema del valore finale Sia $f(t)$ una funzione con trasformata $F(s)$ razionale fratta con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore e poli nell'ORIGINE e/o a PARTE REALE NEGATIVA, allora $ \color{green} \lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s F(s) $ **Esempio: Applicazione CORRETTA teorema valore finale** $\begin{aligned} & f(t)=t, \quad \lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s \frac{1}{s^2}=\infty \\ & f(t)=t e^{-a t}, a>0 \quad \lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s \frac{1}{(s+a)^2}=0 \end{aligned}$ **Esempio: Applicazione non CORRETTA teorema valore finale** 1) $\begin{aligned} & f(t)=\operatorname{sen}(\omega t) \\ & \lim _{t \rightarrow \infty}=\operatorname{sen}(\omega t)=\text { non esiste } \\ & \lim _{s \rightarrow 0}=s \frac{\omega}{s^2+\omega^2}=0 \end{aligned}$ 2) $\begin{gathered} f(t)=e^{a t} \quad a>0 \\ \lim _{t \rightarrow \infty}=e^{a t}=+\infty \\ \lim _{s \rightarrow 0}=s \frac{1}{s-a}=0 \end{gathered}$ #### Teorema del valore iniziale Sia $f(t)$ una funzione con trasformata $F(s)$ razionale fratta con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore, allora $ \color {green} \lim _{t \rightarrow 0+} f(t)=f\left(0^{+}\right)=\lim _{s \rightarrow \infty} s F(s) $ Esempi: $ \begin{aligned} & f(t)=t e^{a t}, f\left(0^{+}\right)=0=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{1}{(s-a)^2} \\ & f(t)=t, \quad f\left(0^{+}\right)=0=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{1}{s^2} \\ & f(t)=t \operatorname{sen}(\omega t), \\ & f\left(0^{+}\right)=0=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{2 \omega s}{\left(s^2+\omega^2\right)^2} \end{aligned} $ Nel caso in cui la f(t) sia discontinua di prima specie il teorema del valore finale fornisce sempre il valore del limite destro 0+ ![[Pasted image 20250924132852.png]] **Esempio se F(s) è razionale e strettamente propria:** $\begin{array}{ll} F(s)=\frac{1}{s+0.5} & f\left(0^{+}\right)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{1}{s+0.5}=1 \\ F(s)=\frac{1}{s-0.5} & f\left(0^{+}\right)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{1}{s-0.5}=1 \end{array}$ ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Analisi#Risorse#Trasformata di Laplace]]] --- > [!danger] Info > ![[!Analisi#Collegamenti]]