> [!Info]- Legenda $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$: Funzione definita sull'intervallo $[a, b]$ con valori reali. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$: Integrale definito della funzione $f(x)$ nell'intervallo $[a, b]$. $m$: Media integrale o valor medio della funzione. $f'(c)$: Derivata della funzione $f$ nel punto $c$. $F(b) - F(a)$: Differenza dei valori della primitiva $F$ della funzione $f$ nei punti $a$ e $b$. --- Il **teorema della media integrale** afferma che se una funzione $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ è integrabile e continua in un punto $c$, allora esiste un numero $m = f(c)$ tale che: $\color {green} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = m(b-a)$ Il valore $m$ è chiamato media integrale o valor medio della funzione. ![[Pasted image 20250523122023.png|400]] ##### Dimostrazione La dimostrazione si basa sull'inversione del [[Teorema di Lagrange]]. Secondo il teorema di Lagrange, esiste un punto $c$ nell'intervallo $[a, b]$ tale che: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$ Da qui, possiamo scrivere: $f(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b-a} \Rightarrow f(c)(b-a) = F(b) - F(a)$ Per il [[Teorema di Torricelli-Barrow per il calcolo integrale|teorema fondamentale del calcolo integrale]], sappiamo che: $F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ Sostituendo, otteniamo la tesi: $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = m(b-a) \quad \text{con} \quad m = f(c)$