Il **teorema di Dini**, o teorema della funzione implicita, stabilisce condizioni sotto cui un'equazione del tipo $F(x, y) = 0$ definisce localmente una variabile come funzione implicita dell'altra. Questo risultato è fondamentale per lo studio di curve di livello, superfici e per la teoria dei [[Massimi e minimi vincolati|massimi e minimi vincolati]]. ### Il problema della funzione implicita Data un'equazione $F(x, y) = 0$ con $F$ [[Funzioni di più variabili|funzione di due variabili]], ci si chiede se sia possibile esplicitare $y$ in funzione di $x$, ottenendo una $y = f(x)$ tale che $F(x, f(x)) = 0$ in un opportuno intorno. Non sempre ciò è possibile globalmente, ma il teorema di Dini fornisce condizioni sufficienti per l'esistenza locale di tale funzione implicita. Il problema si presenta naturalmente quando si vogliono descrivere curve di livello, vincoli di uguaglianza o relazioni tra grandezze fisiche non espresse in forma esplicita. ### Teorema di Dini in due variabili Sia $F: A \subseteq \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^{1}$ su un aperto $A$, e sia $(x_{0}, y_{0}) \in A$ un punto tale che: $ F(x_{0}, y_{0}) = 0, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}(x_{0}, y_{0}) \neq 0 \tag{1} $ Allora esistono un intorno $U$ di $x_{0}$, un intorno $V$ di $y_{0}$ e un'unica funzione $f: U \to V$ di classe $C^{1}$ tale che: $ y_{0} = f(x_{0}), \qquad F(x, f(x)) = 0 \quad \forall x \in U \tag{2} $ La derivata della funzione implicita è data da: $ f'(x) = -\,\frac{F_{x}(x, f(x))}{F_{y}(x, f(x))} \tag{3} $ Questa formula si ottiene derivando l'identità $F(x, f(x)) = 0$ rispetto a $x$ e applicando la [[Regola della catena a più variabili|regola della catena]]. #### Interpretazione geometrica L'insieme dei punti che soddisfano $F(x, y) = 0$ è una curva di livello della funzione $F$. Il gradiente $\nabla F(x_{0}, y_{0})$ è ortogonale alla curva in $(x_{0}, y_{0})$. La condizione $F_{y}(x_{0}, y_{0}) \neq 0$ equivale a richiedere che il gradiente non sia orizzontale, cioè che la tangente alla curva non sia verticale: in tal caso, localmente la curva è il grafico di una funzione $y = f(x)$. Se invece $F_{y}(x_{0}, y_{0}) = 0$ ma $F_{x}(x_{0}, y_{0}) \neq 0$, si può scambiare il ruolo delle variabili ed esplicitare $x$ in funzione di $y$. Se entrambe le derivate parziali sono nulle, il teorema non è applicabile e la geometria locale può essere più complessa (punti singolari, autointersezioni, cuspidi). L'immagine mentale è quella di una curva liscia nel piano: in ogni punto dove la tangente non è verticale, la curva si può descrivere localmente come $y = f(x)$. Dove la tangente è verticale ($F_{y}=0$), la descrizione come $x = g(y)$ è invece possibile purché $F_{x} \neq 0$. ### Estensione a più variabili Il **teorema di Dini** si estende a equazioni in più incognite. Per un'equazione $F(x, y, z) = 0$, se $F \in C^{1}$ e $F_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$, allora localmente si può esplicitare $z = f(x, y)$. Le [[Derivate parziali|derivate parziali]] della funzione implicita sono: $ \frac{\partial f}{\partial x} = -\,\frac{F_{x}}{F_{z}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -\,\frac{F_{y}}{F_{z}} \tag{4} $ Il gradiente $\nabla F$ è ortogonale alla superficie $F(x, y, z) = 0$ e $F_{z} \neq 0$ garantisce che la superficie non abbia piano tangente verticale, quindi è localmente il grafico di $z = f(x, y)$. Questo risultato è essenziale per il [[Metodo dei moltiplicatori di Lagrange]], dove il vincolo è proprio un'equazione $g(x, y, z) = 0$. Per sistemi di equazioni, il teorema si generalizza richiedendo che la matrice Jacobiana del sistema rispetto alle variabili da esplicitare sia invertibile (determinante diverso da zero). L'interpretazione geometrica per una superficie è analoga: in ogni punto dove il piano tangente non è verticale ($F_{z} \neq 0$), la superficie si può vedere localmente come grafico di una funzione $z = f(x, y)$. Il vettore normale $\nabla F = (F_{x}, F_{y}, F_{z})$ fornisce la direzione perpendicolare alla superficie. ### Esempi ed esercizi Prendi l'equazione del cerchio $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$. Nel punto $(0, 1)$ si ha $F_{y} = 2 \neq 0$, quindi vicino a quel punto il cerchio è il grafico di $y = \sqrt{1 - x^{2}}$. Nel punto $(1, 0)$ invece $F_{y} = 0$: la tangente è verticale e non puoi esprimere $y$ come funzione di $x$ con derivata finita. Tuttavia $F_{x} = 2 \neq 0$, quindi puoi esplicitare $x = \sqrt{1 - y^{2}}$. Il **teorema di Dini** ti dice proprio questo: puoi sempre "risolvere" localmente purché la derivata rispetto alla variabile che vuoi esplicitare non si annulli. È come cercare di appendere un quadro: se il filo è teso in verticale ($F_{y}=0$), non puoi spostare il quadro a destra e sinistra ($x$) e dedurre l'altezza ($y$), ma puoi fare il contrario. ##### Domande di teoria - [ ] Enuncia il teorema di Dini per un'equazione $F(x, y) = 0$ specificando tutte le ipotesi. - [ ] Qual è il significato geometrico della condizione $F_{y} \neq 0$? - [ ] Come si ricava la formula per la derivata di una funzione definita implicitamente? - [ ] Cosa afferma il teorema di Dini per un'equazione del tipo $F(x, y, z) = 0$ e come si legano le derivate parziali della funzione implicita a quelle di $F$? - [ ] In che modo il teorema di Dini interviene nella giustificazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange? - [ ] Fornisci un esempio di una curva $F(x, y) = 0$ che in un punto non è localmente il grafico di una funzione $y = f(x)$ né di $x = g(y)$. Cosa implica questo sulle derivate parziali di $F$? ### Collegamenti --- > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]]