Sia $x_0$ un [[Massimi e minimi|punto di max o min]] per la [[Funzioni|funzione]] $f:[a, b]$ in $R$ **Se** 1. $x_0$ è un punto interno al dominio della funzione 2. f è derivabile in $x_0$ **Allora** $ \color {green} f^{\prime}\left(x_0\right)=0 $ *Il teorema equivale a dire che nei punti di max o min la funzione è "piatta".* ==Ci fornisce quindi il metodo risolutivo per trovare i punti di max e min di una qualsiasi funzione.== ![[Pasted image 20250322202122.png|400]] ##### Dimostrazione Assumere per assurdo che $\mathrm{f}^{\prime}\left(\mathrm{x}_0\right)$ sia gt;0$ Per il **Teorema della permanenza** del segno si avrebbe $ \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}>0 $ La funzione sarebbe quindi crescente in un opportuno intorno considerato in palese contraddizione con l'ipotesi. Il caso in cui la derivata è minore di 0 si discute in modo analoga, la funzione risulterebbe decrescente in un opportuno intorno considerato.