Il **teorema di Lagrange,** chiamato anche **Teorema del valore medio** garantisce che esiste un punto in cui la retta tangente è parallela alla retta secante che congiunge A e B. **Se** $f:[a, b]$ in $R$ è una [[Funzioni continue|funzione continua]], con a < b e derivabile in tutto il dominio **Allora** esiste un punto c dell'intervallo tale che $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)$ ![[Pasted image 20250523122120.png]] **Il punto c della tesi è detto punto di Lagrange**, mentre $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ è il valor medio della funzione $f$ nell'intervallo [a,b], II numero $f^{\prime}(c)$ rappresenta il rapporto incrementale lungo la retta tangente a $f$ nel punto stesso. *Possiamo pensare al numero $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ come la variazione media di f nell'intervallo e $f^{\prime}(c)$ come la variazione istantanea. Quindi il teorema del valore medio afferma che la variazione istantanea in un punto interno è uguale alla variazione media nell'intero intervallo.* ##### Esempio di utilizzo Se un'auto che accelera da zero impiega 8 secondi per percorrere 352 piedi, la sua velocità media per l'intervallo di 8 secondi è $352 / 8=44$ piedi/sec. Il teorema del valore medio dice che ad un certo punto durante l'accelerazione il tachimetro deve indicare esattamente 30 mph ( $44 \mathrm{ft} / \mathrm{sec}$ ) ![[Pasted image 20260508153434.png]] ##### Dimostrazione Denotiamo con **r la retta secante** che congiunge i due estremi dell'intervallo considerato. Essa ha equazione $r(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ Ora chiamiamo **h la differenza verticale tra f e r** , con equazione uguale a $h(x)= f(x)-r(x)$ La funzione così descritta soddisfa le ipotesi del [[Teorema di Rolle]] in [a,b] per cui ci sarà un punto c in cui $h^{\prime}(c)=0$ Sostituendo otteniamo quindi il punto c così descritto dal teorema di Lagrange e la tesi è dimostrata. $ \begin{aligned} h^{\prime}(x) & =f^{\prime}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\ h^{\prime}(c) & =f^{\prime}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} & & \text { Evaluated at } x=c \\ 0 & =f^{\prime}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} & & h^{\prime}(c)=0 \\ f^{\prime}(c) & =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, & & \text { Rearranged } \end{aligned} $