**Se** $f:[a, b]$ in $R$ è una [[Funzioni continue|funzione continua]] ed è inoltre: - Derivabile nel dominio - $\operatorname{Con} f(a)=f(b)$ **Allora** esiste almeno un punto $c \in] a, b[$ tale che $ f^{\prime}(c)=0 $ ![[Pasted image 20250523122141.png]] *Il teorema afferma che una funzione, in un intervallo del dominio chiuso, con la stesso valore all'inizio e alla fine dell'intervallo, deve aver per forza almeno un [[Massimi e minimi|massimo]] e/o un minimo.* ##### Dimostrazione Per il [[Teorema di Weierstrass]] la funzione ammette massimo e minimo. Ora discutiamo i due casi separatamente: 1. Max e min sono agli estremi dell'intervallo $\rightarrow$ per la 3a ipotesi si ha $\operatorname{minf}=$ $\max f$ ovvero la funzione è costante e di conseguenza la derivata è uguale a 0 in tutto l'intervallo 2. Uno dei due valori è assunto in un punto interno a $[\mathrm{a}, \mathrm{b}] \rightarrow$ In questo caso la tesi è diretta conseguenza del [[Teorema di Fermat]]