> [!Info]- Legenda
$f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$: Funzione limitata e integrabile
$P$: Antiderivata di $f$
$P'(x)$: Derivata di $P$
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$: Integrale definito di $f$ da $a$ a $b$
$G(x)$: Funzione integrale di $f$ da $a$ a $x$
$C$: Costante di integrazione
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Il **teorema di Torricelli-Barrow** è fondamentale nel calcolo integrale e stabilisce una connessione tra l'[[Integrale alla Riemann|integrazione]] e la [[Derivata|derivazione]].
Consideriamo una funzione $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, limitata e integrabile nell'intervallo $[a, b]$.
**Se** $f$ possiede un'antiderivata $P$ in $[a, b]$, la quale è quindi una funzione tale che
$P^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f(t) d t=f(x)$
**Allora** l'integrale definito di $f$ da $a$ a $b$ è dato da:
$ \color {green}
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = P(b) - P(a)
$
*La formula fondamentale del calcolo integrale riduce quindi il problema del calcolo dell'integrale a quello dell'esistenza e calcolo dell'antiderivata.*
##### Dimostrazione
La prima parte del teorema fondamentale ci dice che esiste un'antiderivata di $f$, precisamente:
$
G(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt
$
**Se** $F$ è un'antiderivata qualsiasi di $f$
**Allora** per il [[Teorema di Lagrange]]
$F(x) = G(x) + C$
per una costante $C$ e per $a < x < b$
Poiché sia $F$ che $G$ sono continue su $[a, b]$, l'uguaglianza $F(x) = G(x) + C$ vale anche per $x = a$ e $x = b$, considerando i limiti unilaterali (quando $x \rightarrow a^{+}$ e $x \rightarrow b^{-}$).
Calcolando $F(b) - F(a)$, otteniamo:
$
\begin{aligned}
F(b) - F(a) &= [G(b) + C] - [G(a) + C] \\
&= G(b) - G(a) \\
&= \int_{a}^{b} f(t) \, dt - \int_{a}^{a} f(t) \, dt \\
&= \int_{a}^{b} f(t) \, dt - 0 \\
&= \int_{a}^{b} f(t) \, dt
\end{aligned}
$
#### Visuals
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[What does area have to do with slope?](https://youtu.be/FnJqaIESC2s?si=i_Ckdlvpc8BYznu9)