> [!Info]- Legenda **$\Rightarrow$**: Implica **$\sup$**: Estremo superiore **$\operatorname{Fr}$**: Frontiera di un insieme **$\bar{E}$**: Chiusura dell'insieme $E$ --- **Teorema di Esistenza Max-Min:** ==Un [[Topologia di insiemi|insieme chiuso]] e [[Limitatezza|limitato superiormente o inferiormente]] possiede un [[Massimi e minimi|massimo o un minimo]]== *Questo significa che, se consideriamo un insieme di numeri reali che è chiuso e limitato, esistono elementi nell'insieme che rappresentano il valore massimo e minimo.* ==**Corollario** --> ogni insieme chiuso e limitato possiede sia un massimo che un minimo.== ##### Dimostrazione Consideriamo un insieme $E$ tale che $E = \bar{E}$, dove $\bar{E}$ rappresenta la chiusura di $E$. Se $\sup E \in \operatorname{Fr} E$, dove $\operatorname{Fr} E$ è il bordo di $E$, allora $\sup E \in \bar{E}$. Questo implica che l'estremo superiore di $E$ appartiene a $E$, diventando così il massimo di $E$.