> [!Info]- Legenda $\sum$: Simbolo di sommatoria, indica la somma di una serie. $a_n$: Termine generale della serie. $k$: Costante moltiplicativa. --- I **teoremi di convergenza** per le [[Serie numeriche|serie numeriche]] sono fondamentali per comprendere il comportamento delle serie e determinare se esse convergono o divergono. **Teoremi Fondamentali** 1. **Teorema di Invarianza**: Il comportamento di una serie non cambia se si eliminano un numero finito di termini dalla successione. *Questo implica che la convergenza o divergenza di una serie non è influenzata dalla rimozione di un numero finito di termini.* 2. **Criterio Necessario per la Convergenza**: Perché una serie sia convergente, il termine generale deve tendere a zero. Formalmente, se una serie $\sum a_n$ è convergente, allora $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$. 3. **Test per la Divergenza**: Se il termine generale di una serie non tende a zero, ovvero $\lim_{n \to +\infty} a_n \neq 0$, allora la serie diverge. *Esempi di Serie Divergenti:* - La serie $\sum n^2$ diverge perché $n^2 \rightarrow \infty$. - La serie $\sum \frac{n+1}{n}$ diverge perché $\frac{n+1}{n} \rightarrow 1$. #### Regole Base per le Serie Se $\sum a_n = A$ e $\sum b_n = B$ sono **serie convergenti**, allora valgono le seguenti regole: 1. **Regola della Somma**: $\sum (a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n = A + B$. 2. **Regola della Differenza**: $\sum (a_n - b_n) = \sum a_n - \sum b_n = A - B$. 3. **Regola del Moltiplicatore Costante**: $\sum k a_n = k \sum a_n = k A$, per qualsiasi numero $k$. #### Classificazione delle serie Le serie possono essere classificate in base al segno dei loro termini: - [[Serie a termini di segno costante]] - [[Serie a termini di segno alterno]] - [[Serie a termini di segno qualunque]] *In ciascun caso, è possibile applicare metodi risolutivi specifici per determinare la convergenza o divergenza.*