#### Topologia delle funzioni a 2 variabili **Punto Interno:** Un punto (x_0, y_0) appartiene all'interno di una regione R nel piano cartesiano se esiste un disco di raggio positivo centrato in (x_0, y_0) completamente contenuto in R. L'insieme di tutti i punti interni di R costituisce l'**interno di una regione.** **Punto di Confine:** Un punto (x_0, y_0) è un punto di confine di R se ogni disco centrato in (x_0, y_0) contiene sia punti appartenenti a R che punti esterni a R. L'insieme di tutti i punti di confine di R costituisce il **confine di una regione**. Una regione viene detta **regione aperta** se è costituita esclusivamente da punti interni, ovvero non include i suoi punti di confine. Una regione viene detta **regione chiusa** se contiene tutti i suoi punti di confine. | ![[Pasted image 20240815095138.png]] | ![[Pasted image 20240815095152.png]] | | ------------------------------------ | ------------------------------------ | **Regione Delimitata:** Una regione è delimitata se è contenuta all'interno di un disco di raggio finito. **Regione Non Delimitata:** Una regione non è delimitata se non esiste un disco di raggio finito che la contenga completamente. *Esempi:* - **Regioni Delimitate:** Segmenti di retta, triangoli (compresi gli interni), rettangoli, cerchi e dischi. - **Regioni Non Delimitate:** Linee infinite, assi cartesiani, grafici di funzioni definite su intervalli infiniti, quadranti, semipiani e l'intero piano cartesiano. #### Grafico delle funzioni a 2 variabili L'insieme dei punti del piano in cui una funzione ƒ(x, y) ha un valore costante $ƒ(x, y) = c$ è detto **curva di livello di ƒ**. L'insieme di tutti i punti $(x, y, ƒ(x, y))$ nello spazio, per (x, y) nel dominio di ƒ, si chiama grafico di ƒ. Il grafico di ƒ è chiamato anche superficie $z = ƒ(x, y)$ ![[Pasted image 20240815102828.png|300]] #### Topologia delle funzioni a tre variabili **Punto Interno:** Un punto (x_0, y_0, z_0) appartiene all'interno di una regione R nel piano cartesiano se esiste una sfera di raggio positivo centrata in (x_0, y_0,z_0) completamente contenuta in R. L'insieme di tutti i punti interni di R costituisce l'**interno di una regione.** **Punto di Confine:** Un punto (x_0, y_0, z_0) è un punto di confine di R se ogni sfera centrata in (x_0, y_0, z_0) contiene sia punti appartenenti a R che punti esterni a R. L'insieme di tutti i punti di confine di R costituisce il **confine di una regione**. Una regione viene detta **regione aperta** se è costituita esclusivamente da punti interni, ovvero non include i suoi punti di confine. Una regione viene detta **regione chiusa** se contiene tutti i suoi punti di confine. | ![[Pasted image 20240815102345.png\|200]] | ![[Pasted image 20240815102358.png\|200]] | | ----------------------------------------- | ----------------------------------------- | #### Grafico delle funzioni a 3 variabili L'insieme dei punti (x, y, z) nello spazio in cui una funzione di tre variabili indipendenti ha un valore costante ƒ(x, y, z) = c è detto superficie di livello di ƒ. Poiché i grafici delle funzioni di tre variabili sono costituiti da punti in uno spazio quadridimensionale, non possiamo schematizzarli efficacemente nel nostro quadro di riferimento tridimensionale. Tuttavia, possiamo vedere come si comporta la funzione guardando superfici di livello tridimensionali. ![[Pasted image 20240815103044.png]] <div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>