> [!Info]- Legenda $B(x_0, r)$: Intorno sferico di centro $x_0$ e raggio $r$. $E^0$: Insieme dei punti interni. $Fr E$: Insieme dei punti di frontiera. $\bar{E}$: Aderenza dell'insieme $E$. $\sup L$: Supremo dell'insieme $L$. $\inf U$: Infimo dell'insieme $U$. --- La **topologia** è una branca della matematica che studia le proprietà degli insiemi che rimangono invariate attraverso deformazioni continue. Un concetto fondamentale in topologia è quello di **intorno sferico**, utilizzato per descrivere la regione circostante un punto. Un **intorno sferico** di un punto $x_0$ in uno spazio euclideo $R^p$ è definito come $B(x_0, r) = \{x \in R^p : |x - x_0| < r\}$ dove $r$ è il raggio. Un [[Insiemi|insieme]] $U$ è un intorno di $x_0$ se contiene una palla centrata in $x_0$, ovvero $B(x_0, r) \subseteq U$ $I(x_0)=$ famiglia degli intorni di $x_0$ Utilizzando il concetto di intorno vengono distinti alcune tipologie di punti, in base alla loro posizione rispetto all'intorno: - **Punto interno**: Un punto $x_0$ è interno a un insieme $E$ se esiste almeno un intorno di $x_0$ completamente contenuto in $E$. - **Punto di frontiera**: Un punto $x_0$ è di frontiera per un insieme $E$ se ogni suo intorno contiene punti sia di $E$ che del suo complementare. - **Punto esterno**: Un punto $x_0$ è isolato in un insieme $R$ se esiste un intorno di $x_0$ che non contiene altri punti di $R$. ![[Pasted image 20250523122218.png]] $E^{0}=$ insieme dei punti interni $F r E=$ insieme dei punti di frontiera L'**aderenza** di un insieme è l'unione dei suoi punti interni e di frontiera. Vengono così distinti: - **Insieme aperto**: Un insieme $E$ è aperto se coincide con il suo insieme di punti interni, $E = E^0$. - **Insieme chiuso**: Un insieme $E$ è chiuso se coincide con la sua aderenza, $E = \bar{E}$. - **Insiemi compatti**: Un insieme è compatto in $R$ se è chiuso e limitato. - **Insiemi contigui**: Due sottoinsiemi $L$ e $U$ di $R$ sono contigui se hanno un unico elemento separatore, cioè $\sup L = \inf U$; altrimenti, sono separati.