La **trasformata di Fourier** estende l’idea dello [[Sviluppo in serie di Fourier|sviluppo in serie di Fourier]] alle funzioni non periodiche, rappresentandole come sovrapposizione continua di sinusoidi. È uno strumento fondamentale per studiare il contenuto in frequenza di segnali, sistemi dinamici, circuiti, filtri e fenomeni oscillatori. Data una funzione $f(t)$ definita sull’intero asse reale, la sua trasformata di Fourier è: $ F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-j\omega t}\,dt $ La trasformata inversa consente di ricostruire il segnale nel dominio del tempo: $ f(t)=\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega $ dove $\omega$ è la pulsazione, espressa in $\text{rad/s}$, e $j$ è l’unità immaginaria. ### Significato fisico La trasformata di Fourier scompone un segnale in un insieme continuo di armoniche elementari $e^{j\omega t}$. Mentre una funzione periodica contiene frequenze discrete multiple della fondamentale, una funzione non periodica possiede in generale uno **spettro continuo**. In sintesi: - Nel dominio del tempo si osserva **come evolve** il segnale. - Nel dominio della frequenza si osserva **quali frequenze contiene** il segnale. - Il modulo $|F(\omega)|$ descrive l’ampiezza delle componenti armoniche. - L’argomento $\arg F(\omega)$ descrive la fase delle componenti armoniche. #### Relazione con la serie di Fourier Per una funzione periodica di periodo $T$, la [[Serie di Fourier]] complessa è: $ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{jn\omega_0 t} $ dove: - $\omega_0=\frac{2\pi}{T}$ - $c_n=\frac{1}{T}\int_{T}f(t)e^{-jn\omega_0t}\,dt$ La serie di Fourier rappresenta quindi una funzione periodica tramite frequenze discrete: $ \omega_n=n\omega_0 $ La trasformata di Fourier può essere ottenuta come limite della serie di Fourier quando il periodo tende all’infinito ($T\to+\infty$) In tale limite, la distanza tra due armoniche consecutive: $ \Delta\omega=\omega_0=\frac{2\pi}{T} $ tende a zero, e lo spettro discreto diventa uno spettro continuo. #### Dimostrazione del passaggio da serie a trasformata Consideriamo una funzione non periodica $f(t)$ e costruiamo una sua estensione periodica su un intervallo di ampiezza $T$. La serie complessa associata è: $ f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{j\omega_n t} $ con: - $\omega_n=n\omega_0$ - $c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\omega_n t}\,dt$ Poiché: $ \Delta\omega=\omega_0=\frac{2\pi}{T} $ si ha: $ \frac{1}{T}=\frac{\Delta\omega}{2\pi} $ quindi: $ c_n=\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\omega_n t}\,dt $ Definendo: $ F_T(\omega_n)=\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\omega_n t}\,dt $ si ottiene: $ c_n=\frac{\Delta\omega}{2\pi}F_T(\omega_n) $ Sostituendo nella serie: $ f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_T(\omega_n)e^{j\omega_n t}\frac{\Delta\omega}{2\pi} $ Quando $T\to+\infty$, allora $\Delta\omega\to0$ e la somma diventa un integrale: $ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega $ dove: $ F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt $ Queste sono precisamente la trasformata di Fourier e la sua formula inversa. #### Spettro di un segnale periodico Un segnale periodico non ha una trasformata ordinaria in senso classico, ma può essere rappresentato nel dominio delle distribuzioni tramite impulsi di Dirac: $ F(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\delta(\omega-n\omega_0) $ Questa formula mostra che una funzione periodica ha uno **spettro a righe**, costituito da impulsi localizzati alle frequenze armoniche $\omega=n\omega_0$. #### Relazione con la trasformata di Laplace La [[Trasformata di Laplace|trasformata di Laplace]] bilatera di una funzione $f(t)$ è: $ F_L(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt $ dove: $ s=\sigma+j\omega $ Sostituendo $s=j\omega$ si ottiene: $ F_L(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt $ quindi: $ \mathcal{F}\{f(t)\}=F_L(s)\big|_{s=j\omega} $ La trasformata di Fourier è dunque la trasformata di Laplace valutata sull’asse immaginario, purché tale asse appartenga alla regione di convergenza. Per segnali causali, cioè nulli per $t<0$, la trasformata di Laplace unilatera è: $ F_L(s)=\int_{0^-}^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt $ Se l’integrale converge per $s=j\omega$, allora: $ F(\omega)=F_L(j\omega) $ #### Interpretazione - La trasformata di Fourier descrive il comportamento in frequenza in regime armonico. - La trasformata di Laplace descrive anche transitori, stabilità e crescita o decadimento esponenziale. - Fourier corrisponde a osservare il sistema lungo l’asse $j\omega$. - Laplace estende l’analisi al piano complesso $s=\sigma+j\omega$. #### Condizioni di esistenza Una condizione sufficiente per l’esistenza della trasformata di Fourier è l’assoluta integrabilità: $ \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|\,dt<+\infty $ In molte applicazioni ingegneristiche si usano anche trasformate generalizzate, valide per segnali non assolutamente integrabili, come sinusoidi pure, gradini e segnali periodici. In questi casi compaiono distribuzioni come l’impulso di Dirac $\delta(\omega)$. ### Proprietà fondamentali | Proprietà | Formula | | --------------------------- | ------------------------------------------------------------------ | | Linearità | $\mathcal{F}\{af(t)+bg(t)\}=aF(\omega)+bG(\omega)$ | | Traslazione nel tempo | $\mathcal{F}\{f(t-t_0)\}=e^{-j\omega t_0}F(\omega)$ | | Traslazione in frequenza | $\mathcal{F}\{e^{j\omega_0t}f(t)\}=F(\omega-\omega_0)$ | | Cambio di scala | $\mathcal{F}\{f(at)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$ | | Derivata nel tempo | $\mathcal{F}\left\{\frac{df}{dt}\right\}=j\omega F(\omega)$ | | Derivata n-esima | $\mathcal{F}\left\{\frac{d^nf}{dt^n}\right\}=(j\omega)^nF(\omega)$ | | Moltiplicazione per $t$ | $\mathcal{F}\{tf(t)\}=j\frac{dF}{d\omega}$ | | Convoluzione nel tempo | $\mathcal{F}\{f*g\}=F(\omega)G(\omega)$ | | Prodotto nel tempo | $\mathcal{F}\{f(t)g(t)\}=\frac{1}{2\pi}(F*G)(\omega)$ | | Simmetria per segnali reali | $F(-\omega)=F^*(\omega)$ | #### Formula di Parseval La formula di Parseval stabilisce che l’energia totale di un segnale può essere calcolata indifferentemente nel dominio del tempo o nel dominio della frequenza: $ \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2\,d\omega $ Quindi $|F(\omega)|^2$ è legato alla distribuzione dell’energia del segnale sulle frequenze. ### Trasformate notevoli | Segnale $f(t)$ | Trasformata $F(\omega)$ | | ---------------------------- | ---------------------------------------------------------------- | | $\delta(t)$ | $1$ | | $1$ | $2\pi\delta(\omega)$ | | $\delta(t-t_0)$ | $e^{-j\omega t_0}$ | | $e^{-at}u(t)$, $a>0$ | $\frac{1}{a+j\omega}$ | | $\cos(\omega_0t)$ | $\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$ | | $\sin(\omega_0t)$ | $\frac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]$ | | Rettangolo di durata $\tau$ | $\frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}$ | | Gaussiana $e^{-at^2}$, $a>0$ | $\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\omega^2/(4a)}$ | ### Collegamento con i sistemi lineari Per un sistema lineare tempo-invariante con risposta impulsiva $h(t)$, l’uscita $y(t)$ è la convoluzione tra ingresso $x(t)$ e risposta impulsiva: $ y(t)=x(t)*h(t) $ Applicando il teorema della convoluzione: $ Y(\omega)=X(\omega)H(\omega) $ dove: $ H(\omega)=\mathcal{F}\{h(t)\} $ è la risposta in frequenza del sistema. Questa relazione permette di studiare filtri, circuiti e sistemi dinamici direttamente nel dominio della frequenza. In particolare: - Se $|H(\omega)|$ è grande, quella frequenza viene amplificata. - Se $|H(\omega)|$ è piccolo, quella frequenza viene attenuata. - Se $\arg H(\omega)$ varia con $\omega$, il sistema introduce sfasamenti dipendenti dalla frequenza. ### Confronto tra serie di Fourier, trasformata di Fourier e trasformata di Laplace | Strumento | Dominio | Tipo di segnali | Risultato | | --- | --- | --- | --- | | Serie di Fourier | Frequenze discrete $n\omega_0$ | Segnali periodici | Coefficienti armonici $c_n$ | | Trasformata di Fourier | Asse immaginario $j\omega$ | Segnali non periodici o generalizzati | Spettro continuo $F(\omega)$ | | Trasformata di Laplace | Piano complesso $s=\sigma+j\omega$ | Segnali causali e sistemi dinamici | Funzione complessa $F(s)$ con regione di convergenza | #### Interpretazione finale La serie di Fourier, la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace appartengono alla stessa famiglia concettuale: rappresentano segnali come combinazioni di esponenziali complessi. - La serie di Fourier usa esponenziali discreti $e^{jn\omega_0t}$. - La trasformata di Fourier usa esponenziali continui $e^{j\omega t}$. - La trasformata di Laplace usa esponenziali complessi generalizzati $e^{st}$. ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Analisi#Risorse#Trasformata di Fourier]] --- > [!danger] Info > ![[!Analisi#Collegamenti]]