La [[Trasformata di Laplace|trasformata di Laplace]] è uno strumento fondamentale per convertire equazioni differenziali nel dominio del tempo in equazioni algebriche nel dominio complesso $s$. È particolarmente utile nello studio di sistemi dinamici, nei circuiti elettrici e nei sistemi di controllo. ### Definizione Si consideri una funzione causale $f(t)$, cioè nulla per $t<0$. La sua trasformata di Laplace è definita come: $\color {orange} F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0^-}^{+\infty} f(t)e^{-st}\,dt $ dove $s \in \mathbb{C}$ è una [[Numeri complessi|variabile complessa]]: $ s=\sigma+j\omega $ L’estremo inferiore $0^-$ consente di includere eventuali impulsi applicati nell’istante iniziale $t=0$. La trasformata esiste solo nei valori di $s$ per cui l’integrale converge. Nei problemi di modellazione dei sistemi, si assume normalmente che la trasformata venga valutata all’interno della propria regione di convergenza. #### Significato operativo Nei modelli fisici, le leggi dinamiche sono spesso espresse tramite [[Equazioni differenziali|equazioni differenziali]] contenenti ingressi, uscite e loro derivate temporali. Per esempio: $ a_2\frac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t) = b_1\frac{du(t)}{dt}+b_0u(t) $ Nel dominio del tempo si lavora con operatori differenziali; nel dominio di Laplace tali operatori diventano polinomi in $s$. Questo permette di trasformare il problema dinamico in un problema algebrico. ![[Pasted image 20250924105539.png]] #### Esempio: circuito RLC serie Consideriamo un [[Circuito RLC|circuito RLC serie]] alimentato da una sorgente $V_S$. Per $t>0$ vale l’equazione: $ L\frac{di}{dt}+Ri+v=V_S $ Poiché la corrente nel condensatore è: $ i=C\frac{dv}{dt} $ si ottiene: $ LC\frac{d^2v}{dt^2}+RC\frac{dv}{dt}+v=V_S $ ==Il numero di equazioni differenziali, o equivalentemente l’ordine del modello, dipende dal numero di elementi con memoria presenti nel sistema.== In questo caso induttore e condensatore generano una dinamica del secondo ordine. #### Ascissa di convergenza La trasformata: $ F(s)=\int_{0^-}^{+\infty} f(t)e^{-st}\,dt $ può convergere o divergere a seconda della funzione $f(t)$ e del valore complesso $s$. Se converge per: $ s=\sigma_0+j\omega_0 $ allora converge anche per tutti i valori di $s$ tali che: $ \operatorname{Re}(s)\geq \sigma_0 $ Il valore minimo $\sigma_0$ è detto **ascissa di convergenza.** ![[Pasted image 20250924110607.png]] ### Trasformate fondamentali | Funzione | Simbolo | Trasformata | | :----------------------- | :----------------- | :---------------------------- | | Derivata prima | $\frac{d}{dt}f(t)$ | $sF(s)-f(0^-)$ | | Impulso unitario | $\delta(t)$ | $1$ | | Gradino unitario | $u(t)$ | $\frac{1}{s}$ | | Esponenziale decrescente | $e^{-\alpha t}$ | $\frac{1}{s+\alpha}$ | | Crescita esponenziale | $1-e^{-\alpha t}$ | $\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$ | | Sinusoide | $\sin \omega t$ | $\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$ | | Rampa esponenziale | $te^{-\alpha t}$ | $\frac{1}{(s+\alpha)^2}$ | #### Gradino unitario Il gradino unitario, indicato anche come $u(t)$ o $\delta_{-1}(t)$, vale $0$ per $t<0$ e $1$ per $t\geq0$. ![[Pasted image 20250924110736.png|628]] La sua trasformata è: $ \mathcal{L}[u(t)] = \int_{0}^{+\infty}e^{-st}\,dt = \left.\frac{e^{-st}}{-s}\right|_{0}^{+\infty} = \frac{1}{s} $ quindi: $ \mathcal{L}[u(t)]=\frac{1}{s} $ #### Impulso di Dirac L’impulso unitario $\delta(t)$ è definito idealmente da: $ \delta(t)=0 \quad \text{per } t\neq0 $ e dalla proprietà di area unitaria: $ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\,dt=1 $ Graficamente viene rappresentato mediante una freccia. ![[Pasted image 20250924111748.png]] Può essere interpretato come limite di un rettangolo di area unitaria e durata tendente a zero. ![[Pasted image 20250924111817.png]] Le proprietà principali sono: - $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\,dt=1$ - $\int_{t_a}^{t_b}\delta(t-t_0)\,dt=1$ se $t_a<t_0<t_b$ - $\int_{t_a}^{t_b}f(t)\delta(t-t_0)\,dt=f(t_0)$ se $t_a<t_0<t_b$ ![[Pasted image 20250924112259.png|200]] La trasformata dell’impulso è: $ \mathcal{L}[\delta(t)] = \int_{0^-}^{+\infty}\delta(t)e^{-st}\,dt = e^{-s0}=1 $ quindi: $ \mathcal{L}[\delta(t)]=1 $ Se l’impulso ha ampiezza, cioè area, diversa da $1$, la trasformata assume il valore di tale area. #### Legame tra impulso e gradino L’impulso è la derivata distribuzionale del gradino unitario: $ \frac{d}{dt}u(t)=\delta(t) $ Viceversa, il gradino è l’integrale dell’impulso: $ u(t)=\int_{0^-}^{t}\delta(\tau)\,d\tau $ ![[Pasted image 20250924112755.png]] #### Ingressi canonici Un ingresso polinomiale causale di ordine $n$ può essere scritto come: $ \frac{t^n}{n!}u(t) $ La sua trasformata è: $ \mathcal{L}\left[\frac{t^n}{n!}u(t)\right]=\frac{1}{s^{n+1}} $ Casi particolari: $ \mathcal{L}[u(t)]=\frac{1}{s} $ $ \mathcal{L}[tu(t)]=\frac{1}{s^2} $ $ \mathcal{L}\left[\frac{t^2}{2}u(t)\right]=\frac{1}{s^3} $ ![[Pasted image 20250924113838.png|150]] #### Esponenziale Per il segnale causale $e^{-at}u(t)$: $ \mathcal{L}[e^{-at}u(t)] = \int_{0}^{+\infty}e^{-at}e^{-st}\,dt = \int_{0}^{+\infty}e^{-(s+a)t}\,dt $ Svolgendo l’integrale: $ \mathcal{L}[e^{-at}u(t)] = \frac{1}{s+a} $ ![[Pasted image 20250924114020.png|300]] La corrispondente [[Anti-trasformata di Laplace|anti-trasformata di Laplace]] è: $ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+a}\right]=e^{-at}u(t) $ ![[Pasted image 20250924114935.png|300]] #### Seno e coseno Usando le formule di Eulero: $ \sin(\omega t)=\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j} $ si ottiene: $ \mathcal{L}[\sin(\omega t)u(t)] = \frac{1}{2j} \left( \frac{1}{s-j\omega} - \frac{1}{s+j\omega} \right) = \frac{\omega}{s^2+\omega^2} $ Analogamente: $ \mathcal{L}[\cos(\omega t)u(t)] = \frac{s}{s^2+\omega^2} $ ### Proprietà operative #### Linearità Se: $ f(t)=c_1f_1(t)+c_2f_2(t) $ allora: $ F(s)=c_1F_1(s)+c_2F_2(s) $ con $c_1,c_2\in\mathbb{C}$. Per funzioni reali vale inoltre: $ F(s^*)=F^*(s) $ dove $s^*$ indica il complesso coniugato. #### Traslazione nel tempo Se: $ \mathcal{L}[f(t)]=F(s) $ allora, per $t_0>0$: $ \mathcal{L}[f(t-t_0)u(t-t_0)]=e^{-st_0}F(s) $ ![[Pasted image 20250924120454.png]] ##### Esempio $ \mathcal{L}[e^{-2t}u(t)]=\frac{1}{s+2} $ quindi: $ \mathcal{L}[e^{-2(t-t_0)}u(t-t_0)] = \frac{e^{-st_0}}{s+2} $ ![[Pasted image 20250924120958.png|300]] #### Traslazione complessa Se: $ \mathcal{L}[f(t)]=F(s) $ allora: $ \mathcal{L}[e^{-at}f(t)]=F(s+a) $ Esempi: $ \mathcal{L}[t]=\frac{1}{s^2} \Rightarrow \mathcal{L}[e^{-at}t]=\frac{1}{(s+a)^2} $ $ \mathcal{L}[\sin(\omega t)] = \frac{\omega}{s^2+\omega^2} \Rightarrow \mathcal{L}[e^{-at}\sin(\omega t)] = \frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} $ $ \mathcal{L}[e^{-at}\cos(\omega t)] = \frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2} $ ![[Pasted image 20250924123406.png]] #### Anti-trasformata della derivata rispetto a s $\mathcal{L}[f(t)]=F(s) \Rightarrow \mathcal{L}[t \cdot f(t)]=-\frac{d}{d s} F(s) $ **Esempio** $\begin{aligned} & \mathcal{L}\left[\delta_{-1}(t)\right]=\frac{1}{s} \Rightarrow \\ & \mathcal{L}\left[t \delta_{-1}(t)\right]=-\frac{d}{d s}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s^2} \end{aligned}$ ### Trasformate notevoli Una formula molto utile nella è: $ \mathcal{L}\left[\frac{t^n}{n!}e^{-at}u(t)\right] = \frac{1}{(s+a)^{n+1}} $ **Esempi** $\begin{array}{ll} (n=0) & \mathcal{L}\left[e^{-a t} \delta_{-1}(t)\right]=\frac{1}{(s+a)} \\ (n=1) & \mathcal{L}\left[t e^{-a t} \delta_{-1}(t)\right]=\frac{1}{(s+a)^2} \\ (n=2) & \mathcal{L}\left[\frac{t^2}{2} e^{-a t} \delta_{-1}(t)\right]=\frac{1}{(s+a)^3} \end{array}$ Per a = 1, abbiamo nei tre casi, rispettivamente $\begin{aligned} \mathcal{L}\left[e^{-1 t}\right] & =\frac{1}{(s+1)} \\ \mathcal{L}\left[t e^{-1 t}\right] & =\frac{1}{(s+1)^2} \\ \mathcal{L}\left[\frac{t^2}{2} e^{-1 t}\right] & =\frac{1}{(s+1)^3} \end{aligned}$ ![[Pasted image 20250924125347.png|300]] #### Derivazione nel dominio del tempo Se: $ \mathcal{L}[f(t)]=F(s) $ allora la trasformata della derivata prima è: $ \mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right] = sF(s)-f(0^-) $ La trasformata della derivata seconda è: $ \mathcal{L}\left[\frac{d^2f(t)}{dt^2}\right] = s^2F(s)-sf(0^-)-\dot{f}(0^-) $ Se $f(t)$ è discontinua in $t=0$, il valore iniziale da usare è il limite sinistro $f(0^-)$. #### Integrazione nel dominio del tempo Se: $ \mathcal{L}[f(t)]=F(s) $ allora: $ \mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right] = \frac{F(s)}{s} $ Queste operazioni sono alla base della costruzione di modelli a blocchi e delle [[Funzioni di trasferimento|funzioni di trasferimento]] usate nei sistemi di controllo. ![[Pasted image 20250924130717.png|200]] ![[Pasted image 20250924131112.png|400]] ### Collegamenti --- *Per risposte, ulteriori esercizi e approfondimenti consultare le risorse di riferimento.* > [!info]- Risorse > ![[!Analisi#Risorse#Bibliografia]] > ![[!Analisi#Risorse#Approfondimenti]] --- > [!example] Playlist > ![[!Analisi#Risorse#Trasformata di Laplace]]] --- > [!danger] Info > ![[!Analisi#Collegamenti]]